二　大氣的流體力學

 

那微繫托克方程(Navier-Stokes equation)

        流體分子在空間的運動由數個變數決定：速度、密度、溫度、空間中不同形態的水和其他化學物質；施於流體分子的力包括：氣壓梯度力、重力、摩擦力等。

 

        梯度運算符（operator）： Ñ  = i ¶/¶x + j ¶/¶y + k ¶/¶z

        DV/Dt = -(1/ρ) Ñp – g* r + 磨擦力 + ……

 

        其中-(1/ρ) Ñp 是氣壓梯度力。

       

        在計算時，要考慮連續方程式：

        Dρ/Dt + ρÑ.V = 0

 

        如果考慮的流體團為圓柱體，上式則變為

        2 Vin / R = ∆w/∆z

        其中Vin為流入圓柱體的流體速度，∆w為向上速度變化，∆z 為高度變化。

 

        以上計算過程是假設流體密度不變，即

        M2 = U2/c2 << 1

        U 是流體速度，c是聲速。

 

        影響流體運動的磨擦力包括黏滯力。作用於每單位質量的黏滯力為：

        Fr = vÑ2V

        v 是運動的黏滯度。

 

        那微繫托克方程如下：

        DV/Dt = -(1/ρ) Ñp + vÑ2V + g

 

流體中的相似定律

        The Buckingham π Theorem 指出，如一個流體系統有n個物理變數，而那些變數可用k個獨立的物理數字表示，那麼物理系統可用(n – k)個次元為0（無單位）的數字表示出來，而那些數字是用原來的物理變數拼砌出來。

 

        以下六個數在氣象計算上比較重要：

雷諾數

慣性力與黏滯力之比

羅斯貝／羅士培數

慣性力與科氏力之比

理查生數

垂直穩定度與垂直風切變之比

馬赫數

流體速率與聲速之比

普朗特數

黏滯度與導熱性之比

福祿數

動能與位能之比

        不同的雷諾數代表流體有不同表現：雷諾數低於1時（慣性力弱），流體流動在不同位置是對稱的；當雷諾數稍大時，流體在阻力區後面產生漩渦，流動形狀變得不對稱；雷諾數更大時，漩渦區會繼續增大。這情況出現在低空急流經過島嶼上山脈，大量順時針和逆時針漩渦狀的雲帶在島嶼背風處形成，並向遠離島嶼方向移動。

 

計算也顯示，大氣運動而狂亂，而非對稱的。

 

科氏力(Coriolis force)

        科氏力是由於地球自轉，在自轉環境內物體感受到的力，就像在遊樂場自轉輪上向前拋球一樣：在輪上的觀察者看來，球的活動是曲線，覺得球也受到一種力影響而轉向。在輪外靜止的觀察者則看到那球在做直線運動。科氏力的公式如下：

 

        CF = f k x V

        f 為自轉速度x sin(緯度)x 2，k是向上指的單位向量，V是速度。在北半球，科氏力使物體向前走時同時向右加速，直至向正東移動；在南半球則使物體向左加速。

 

        加上科氏力後，那微繫托克方程如下：

        DV/Dt = -(1/ρ) Ñp + vÑ2V + g - f k x V

 

        除非在強烈的對流系統中（如雷暴），上述的方程已經能描述大氣狀態。

 

大範圍移動所做的近似化(approximation)

        雖然地球是圓球，但由於表面積大，在地面近距離，可不使用球坐標系，轉而使用直角坐標系。這樣雖然在大範圍會產生誤差，但卻免去使用角度來運算，故更方便。